MATEMATIKA : PERMUTASI DAN KOMBINASI (Rumus, Aturan Perkalian, Permutasi, Kombinasi, Peluang suatu kejadian, Frekuensi Harapan, Peluang Kejadian majemuk, Contoh Soal)

Hai sahabat Pandai Belajar! kali ini kami akan membahas tentang Permutasi dan Kombinasi, dimana bahasan ini merupakan salah satu dari bab yang terdapat pada pelajaran Matematika. Adapun hal-hal yang akan dibahas kali ini yaitu ; Rumus-rumus, Aturan Perkalian, Permutasi, Kombinasi, Peluang suatu kejadian, Frekuensi Harapan, Peluang Kejadian majemuk dan Contoh Soal. let's check this out!


1. ATURAN PERKALIAN
Jika banyak cara memilih unsur pertama ada m cara dan banyak cara memilih unsur kedua ada n cara, maka banyak cara memilih kedua unsur tersebut sekaligus ada m x n cara.
Faktorial :
3! = 3.2.1
2! = 2.1
n! = n.(n-1).(n-2)...3.2.1

2. PERMUTASI
Permutasi menyatakan banyaknya penyusunan objek dengan memperhatikan letak/ukuran. Banyak permutasi (susunan terurut) r unsur dari n unsur adalah :


Jenis-jenis permutasi antara lain :

  • Permutasi n unsur : n!
    Permutasi dengan menggunakan seluruh unsur.
  • Permutasi dengan n unsur sama:



    dengan p,q,r menyatakan banyaknya unsur yang sama.
  • Permutasi siklis (melingkar) : (n-1)!
    Permutasi yang disusun secara melingkar. misal jika ada susunan DEF maka susunannya DEF, FDE, EFD (jika pandangan kita berputar searah jarum jam) jadi permutasi siklis dari susunan 3 objek DEF adalah 3!/3 = (3 x 2!)3 = 2! = 2.
3. KOMBINASI
kombinasi menyatakan banyaknya penyusunan objek-objek dengan tidak memperhatikan letak/ukuran. Rumus banyak kombinasi (susunan) unsur dari unsur adalah :



Contoh Soal!

1. Empat siswa dan dua siswi akan duduk berdampingan. Apabila siswi selalu duduk paling pinggir, banyak cara mereka duduk adalah..
A. 25
B. 64
C. 48
D. 71
E. 69

Pembahasan
Duduk di pinggir 2 siswi: 2!
Duduk selain di pinggir 4 siswa: 4!
Jadi banyak cara mereka duduk adalah :
2!4! = (2.1)(4.3.2.1) = 48

Jawaban C

4. PELUANG SUATU KEJADIAN
Peluang suatu kejadian adalah kemungkinan munculnya suatu kejadian dari sebuah semesta himpunan dengan ketentuan ketentuan 0 =< P(A) =< 1. Dirumuskan :


dengan ketentuan :
n(A) = Banyaknya kemungkinan terjadinya kejadian A
n(S) = Banyaknya seluruh kejadian yang mungkin

5. FREKUENSI HARAPAN
Jika A adalah kejadian pada ruang sampel s dengan peluang P(A), maka frekuensi harapan kejadian A danri n kali percobaan adalah f(A) = P(A).n

6. PELUANG KEJADIAN MAJEMUK

  • Peluang gabungan 2 kejadian
    Jika A dan B dua kejadian yang berada dalam ruang sampel S. Peluang kejadian 
  •  rumusnya adalah :



  • Kejadian saling lepas
    Syarat kejadian ini adalah bila tidak ada irisan antara 2 himpunan, sehingga 
  •  jadi rumusnya :

  • Kejadian saling bebas
    Syarat kejadian ini adalah bila suatu kejadian tidak mempengaruhi kejadian yang lain.


  • Kejadian bersyarat
    Kejadian yang menyatakan peluang munculnya kejadian A setelah muncul kejadian B.


  • Peluang komplemen suatu kejadian
    Jika A dan A' adalah 2 buah kejadian yang saling komplemen, maka peluang komplemen kejadian A (ditulis P(A')) rumusnya adalah

    P(A') = 1 - P(A)
Contoh Soal!

1. Dua dadu dilempar undi bersama satu kali. Peluang muncul jumlah kedua mata dadu 4 atau 7 adalah...
A. 6/36
B. 9/36
C. 8/38
D. 5/35
E. 7/35

Pembahasan
n(S) = 6^2 = 36
A = Kejadian muncul mata dadu 4
<=> {(1,3),(2,2),(3,1)}= n(A) = 3
B = Kejadian muncul mata dadu 7
<=> {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}= n(B) = 6

Kejadian di atas adalah kejadian saling lepas karena 2 kejadian tidak memiliki irisan.
Jadi :
 = 3/36 + 6/36 = 9/36
Jawaban B


Sekian bahasan mengenai Permutasi dan Kombinasi kali ini, jika ada pertanyaan silahkan klik Contact atau hubungi melalui FansPage pandaibelajar Thank You!

MATEMATIKA : BARISAN DAN DERET ( Konsep, Rumus, Contoh Soal, Barisan dan Deret Aritmatika, Barisan dan Deret Geometri, Geometri Tak Hingga)

Hai Sahabat Pandai Belajar! Kali ini admin akan membahas salah satu bab yang ada pada dipelajaran Matematika yaitu Barisan dan Deret. Adapun hal-hal yang akan dibahas diantaranya adalah Konsep Barisan dan Deret, Barisan dan Deret Aritmatika, Barisan Geometri, Deret Geometri, Deret Geometri tak hingga dan rumus-rumus dan Contoh Soal dalam Barisan dan Deret. Kuy kita simak bersama!


1. KONSEP BARISAN DAN DERET

  • Barisan
    Barisan adalah himpunan bilangan-bilangan yang diurutkan menurut aturan tertentu. barisan suku ke-1 sampai suku ke -n dapat dituliskan dengan :


  • Deret
    Deret adalah penjumlahan dari suatu barisan yang berurutan dapat dituliskan dengan  :


2. BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

  • Barisan Aritmatika
    Barisan Aritmatika adalah suatu barisan bilangan yang selisih/beda antara dua suku yang berurutan selalu sama. Rumus suku ke -n dari barisan aritmatika dapat dituliskan sebagai berikut :


Dengan Un = suku ke -n
              a = Suku pertama
              b = beda

  • Deret Aritmatika
    Jumlah n suku pertama dari deret aritmatika dirumuskan :


Dengan  Sn = Jumlah n suku pertama
              Un = suku ke -n
              a = Suku pertama
              b = beda

Hubungan antara barisan dan deret, dapat dirumuskan dengan :



Contoh Soal!

1. Jika suku ke-8 deret aritmatika adalah 20 dan jumlah suku ke-2 dan ke-16 adalah 30, maka suku ke-12 deret tersebut adalah..

A. -6
B. -2
C. 9
D. 0
E. -5

Pembahasan : 
Un = a + (n-1)b
U8 = a + 7b = 20
U2 + U16 = (a + b) + (a + 15b)
                 = 2a + 16b = 30 atau a + 8b = 15
Dengan eliminasi :
a + 7b = 20
a + 8b = 15
____________
b = -5, a = 55
U12 = a + 11b = 55+11(-5) = 0 Jawaban D


3.  BARISAN GEOMETRI
Barisan Geometri adalah barisan bilangan yang perbandingan/rasio dua suku yang berurutan selalu sama. Rumus suku ke -n dari barisan geometri dapat dituliskan sebagai berikut :



Dengan Un = Suku ke -n
              a = Suku pertama
              r = Rasio

4. DERET GEOMETRI
Jumlah n suku pertama dari deret geometri dirumuskan :



Dengan Sn= Jumlah n suku pertama
              a = Suku pertama
              r = rasio

5. DERET GEOMETRI TAK HINGGA
Barisan geometri tak hingga akan mempunyai nilai yang konvergen (nilainya memusat) jika -1 < r < 1 dengan rumus :



Contoh Soal! 

1. Jika suku pertama dan ke-4 barisan geometri adalah 3 dan 24 dan maka suku ke-7 barisan geometri tersebut adalah..

A. 48
B. 192
C. 834
D. 321
E. 96

Pembahasan : 
Un = ar^n-1
U1 = a
Suku ke-4 =
U4 = ar^3
24 = 3r^3
r^3 = 8
r = 2, jadi suku ke-7 :
U7 = ar^6 = 3(2)^6 = 192 Jawaban B


Sekian Ulasan singkat mengenai Barisan dan Deret, jika ada pertanyaan silahkan klik Contact!! Terima kasih :)

TEKS CERITA ULANG BIOGRAFI LENGKAP (Pengertian, Tujuan, Struktur, Kaidah Kebahasaan, Ciri-ciri Teks Ceria Ulang Biografi)

Hai Sabahat PandaiBelajar! Di kesempatan kali ini kami akan mengulas Pelajaran Bahasa Indonesia, adapun bab yang akan dibahas yaitu Teks Cerita Ulang Biografi. Kami akan mengulas secara lengkap materi Teks Cerita Ulang biografi ini. Hal-hal yang akan dijelaskan kali ini diantaranya Pengertian Teks Cerita Ulang Biografi, Tujuan Teks Cerita Ulang Biografi, Struktur Teks Cerita Ulang Biografi, Kaidah Kebahasaan Teks Cerita Ulang Biografi, Ciri-ciri Teks Ceria Ulang Biografi.Yak tanpa berlama-lama lagi, Let's Check this out!!

www.pandaibelajar.com
Nelson Mandella

Teks Cerita Ulang Biografi adalah sebuah teks yang menceritakan kembali kepada pembaca mengenai seorang tokoh yang berjasa berdasarkan bigrafi yang sudah pernah ada. Teks cerita ulang biografi merupakan salah satu teks cerita ulang faktual yang mengisahkan riwayat hidup seseorang yang ditulis oleh orang lain.

Tujuan Teks Cerita Ulang Biografi ialah teks ini bermanfaat bagi pembaca sebagai pelajaran yang berharga berdasarkan pengalaman seorang tokoh. Adapun bagi penulis untuk berbagi pengalaman tokoh-tokoh sukses kepada orang banyak (pembaca) dengan teks yang lebih ringkas daripada teks biografi aslinya.

Struktur Teks Cerita Ulang Biografi
Struktur teks merupakan bagian-bagian dari teks yang membangun teks itu sendiri. Bagian-bagian tersebut menjelaskan ciri bagian awal, inti, dan penutup teks dalam fungsi penyampaian tertentu. Adapun struktur yang membangun sebuah Teks Cerita Ulang Biografi yaitu :

  • Orientasi adalah bagian yang memberi pengenalan tokoh secara umum, seperti nama, tempat dan tanggal lahir, latar belakang keluarga, serta riwayat pendidikan tokoh yang diangkat.
  • Urutan Peristiwa Kehidupan Tokoh adalah bagian yang menceritakan urutan peristiwa kehidupan tokoh yang pernah dialami sosok yang digambarkan meliputi peristiwa yang mengesankan, mengagumkan, menarik maupun mengharukan. Pada bagian ini terlihat berbagai pengalaman sang tokoh yang diceritakan, baik peristiwa yang mengesankan maupun persoalan yang dihadapinya.
  • Reorientasi adalah bagian akhir dari teks yang berisikan pandangan penulis terhadap tokoh yang diceritakan. Bagian ini merupakan tahapan yang bersifat pilihan, artinya boleh saja bagian ini tidak disajikan oleh penulis teks cerita ulang biografi.
Kaidah Kebahasaan Teks Cerita Ulang Biografi
Kaidah kebahasaan pada teks ini yaitu:
  1. Pronomina, dikenal juga dengan kata ganti merupakan kata yang digunakan untuk menggantikan benda dan menamai seseorang atau sesuatu secara tidak langsung, sepertinya "ia, mereka, -nya"
  2. Menggunakan kata yang menunjukkan apa, siapa, kapan, dimana, bagaimana.
  3. verba material, untuk menunjukkan aktivitas atau perbuatan nyata yang dilakukan oleh partisipan. Kata kerja material menunjukkan perbuatan fisik atau peristiwa, misalnya membaca, menulis, dan memukul.
  4. Verba Tingkat Laku, merupakan kata kerja yang mengacu pada sikap yang dinyatakan dengan berupa ungkapan perkataan atau verbal
  5. Kata yang menunjukkan kejadian atau peristiwa, waktu, dan tempat
  6. Keterangan waktu lampau, kata keterangan waktu yang menyatakan waktu yang lalu (sudah terlewat). 
  7. Konjungsi (kata sambung) temporal, Untuk menata urut-urutan peristiwa yang diceritakan, seperti ketika, kemudian, dan setelah. Namun, tidak tertutup kemungkinan bagi konjungsi lainnya untuk dimunculkan pada teks tersebut, seperti dan, tetapi, karena, dan meskipun.
  8. Kalimat simpleks, Kalimat yang hanya terdiri atas satu verba utama yang menggambarkan satu aksi, peristiwa, atau keadaan kerap terdapat dalam teks cerita ulang ataupun biografi ini.
Ciri-ciri Teks Cerita Ulang Biografi
Teks Cerita Ulang Biografi memiliki beberapa ciri-ciri yang membuat teks ini berbeda dan dapat dibedakan dengan jenis teks lainnya yaitu :
  • Hal yang dituangkan dalam teks cerita ulang biografi merupakan kisah hidup orang yang terkenal atau berpengaruh di dunia.
  • Dalam teks tersebut menceritakan kisah tokoh dengan lengkap, dimulai dari sang tokoh menjalani masa kecil sampai tua bahkan sampai meninggal (jika sang tokoh sudah wafat, jika belum maka tentu tidak ada)
  • Selain perjalanan hidup sang tokoh, dalam teks ini juga menceritakan kegiatan dan peristiwa yang dialami tokoh, ekspresi, ide, perasaan, dan pandangan hidup tokoh. Serta jasa dan keberhasilan sang tokoh.
  • Teks cerita ulang biografi lebih kompleks atau lebih lengkap dari pada biodata CV

FISIKA : GERAK KINEMATIKA LENGKAP (Pengertian Kinematika, Jenis-jenis Gerak Kinematika, Rumus Persamaan)

Hai hai Sahabat Pandaibelajar! kali ini kami akan menjelaskan tentang Kinematika, dimana Kinematika ini merupakan salah satu bab pada pelajaran Fisika. Adapun yang akan dibahas diantaranya ; Pengertian Kinematika, Jenis-jenis Gerakan Kinematika dan Rumus-rumus pada gerak Kinematika. Tanpa berlama-lama lagi, let's check this out!

www.pandaibelajar.com

Kinematika merupakan suatu ilmu yang mempelajari sistematika gerak atau bagaimana gerak tersebut terjadi dimana penyebab terjadinya gerakan tersebut tidak dianggap atau tidak diperdulikan. Kinematika terdiri dari Gerak lurus yang mencakup Gerak Lurus Beraturan (GLB) dan Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB). Gerak Melingkar Beraturan dan Perpaduan Gerak

1. Gerak Lurus
    Gerak benda pada lintasan lurus disebut dengan gerak lurus. Ada dua macam Gerak lurus, yaitu gerak lurus beraturan dan gerak lurus berubah beraturan.
  • Gerak Lurus Beraturan (GLB)
    Gerak lurus beraturan adalah gerak benda pada lintasan lurus dengan kecepatan konstan atau tetap. Secara umum rumus persamaan GLB yaitu sebagai berikut :

 

v = Kecepatan (m/s)
s = Jarak (m)
t = Waktu (s)
  • Gerak Lurus Berubah Beraturan
    Gerak lurus berubah beraturan adalah gerak benda pada lintasan lurus dengan kecepatan berubah secara beraturan yang dikarenakan mengalami percepatan tetap. Rumus persamaan dalam gerak lurus berubah beraturan sebagai berikut :


Jika disajikan dalam grafik kecepatan v terhadap waktu t, maka:



Sehingga s = Luas Kurva

Kecepatan Sesaat





vt = kecepatan akhir (m/s)
v0= Kecepatan awal (m/s)
a = Percepatan (m/s^2)
s = Jarak (m)
t = Waktu (s)

Aplikasi dari persamaan GLBB dapat digunakan pada gerak jatuh bebas, gerak vertikal ke atas maupun vertikal ke bawah.

Gerak Jatuh Bebas
Pada gerak jatuh bebas v0 = 0 sehingga kecepatan dan waktu benda mencapai tanah dapat dirumuskan dengan persamaan berikut :






Vt = Kecepatan saat t sekon (m/s)
h = Jarak yang ditempuh benda (m)
g = percepatan gravitasi (9,8 m/s^2)
t = waktu (s)

Gerak Vertikal ke Atas
Kecepatan awal v0 arah ke atas






Gerak Vertikal ke Bawah
Kecepatan awal v0 arah ke bawah







g =Percepatan gravitasi bumi (10m/s^2)
ht = Ketinggian benda akhir (m)
h0 = Ketinggian benda mula-mula (m)

2. Gerak Melingkar Beraturan (GMB)
    Gerak melingkar beraturan (GMB) dapat didefinisikan sebagai gerak benda pada lintasan berupa lingkaran dengan kecepatan sudut tetap. Dalam gerak melingkar beraturan, ada beberapa istilah sebagai berikut:

  • Frekuensi dan Periode
    Frekuensi adalah banyaknya putaran dalam tiap detik sedangkan periode adalah waktu yang diperlukan untuk berotasi satu putaran. Secara matematis besarnya frekuensi dan periode dapat dinyatakan dalam rumus persamaan berikut :

    Frekuensi :   


    Periode :  


    f = Frekuensi (Hz)
    n = Jumlah putaran
    t = Waktu (s)
    T = Periode
  • Kecepatan Sudut
    Kecepatan sudut adalah besarnya sudut yang ditempuh tiap satuan waktu. Rumus persamaan kecepatan sudut dapat dinyatakan sebagai berikut :




= kecepatan sudut (rad/s)
v = Kecepatan linier (m/s)
R = Jari-jari lintasan (m)

Beberapa satuan dari kecepatan sudut, diantaranya :
1 putaran/sekon =  
1 rps (rotasi per sekon) = 
1 rpm (rotasi per menit) =   

  • Percepatan Sentripetal
    Percepatan sentripetal adalah percepatan benda terjadi pada benda bergerak melingkar beraturan yang memiliki arah menuju ke pusat. Besarnya percepatan sentripetal dapat dinyatakan dalam rumus persamaan berikut :


 = percepatan sentripetal (m/s^2)


  • Hubungan Roda-roda dalam gerak melingkar beraturan
    www.pandaibelajar.com
    (a). Bersinggungan, (b). Satu Tali
    Berlaku :
  Sehingga 

Satu sumbu putar

 Sehingga  

v = Kecepatan linier (m/s)
 = kecepatan sudut (rad/s)
R = Jari-jari roda (m)

3. Perpaduan Gerak
    Kecepatan merupakan besaran vektor yang memiliki arah sehingga gerak benda dapat dipadukan jika benda bergerak dengan arah kecepatan yang berbeda seperti pada gambar

www.pandaibelajar.com
 Sehingga dapat dituliskan dalam persamaan :










v = Resultan kecepatan (m/s)
Vx = Kecepatan benda terhadap sumbu x (m/s)
Vy = Kecepatan benda terhadap sumbu y (m/s)

Ada beberapa penerapan perpaduan gerak antara lain sebagai berikut :
  • Gerakan Peluru Jatuh
    Waktu Mencapai tanah

    www.pandaibelajar.com 
  Jarak Jangkauan x  

  • Gerak Parabola
    Gerak parabola merupakan perpaduan antara gerak lurus beraturan (GLB) terhadap sumbu x dan gerak lurus berubah beraturan (GLBB) terhadap sumbu y.
Posisi Sesaat





Ketinggian Maksimum di B
 maka ;
Ketinggian Maksimum (h maks)



Waktu hingga ketinggian maksimum ( )



Jarak maksimum (R)



Waktu mencapai tanah kembali ()



 = Kecepatan searah sumbu x (m/s)
 = Kecepatan searah sumbu y (m/s)
 = Kecepatan awal (m/s)
g = Percepatan gravitasi (m/s^2)
t = Waktu (s)
 = Arah sudut terhadap sumbu x
 = Waktu hingga ketinggian maksimum (s)
 = Ketinggian maksimum (m)
 = Waktu hingga jarak maksimum (s)
R = Jarak maksimum (m)