Showing posts with label Matematika. Show all posts
Showing posts with label Matematika. Show all posts

MATEMATIKA : PERMUTASI DAN KOMBINASI (Rumus, Aturan Perkalian, Permutasi, Kombinasi, Peluang suatu kejadian, Frekuensi Harapan, Peluang Kejadian majemuk, Contoh Soal)

Hai sahabat Pandai Belajar! kali ini kami akan membahas tentang Permutasi dan Kombinasi, dimana bahasan ini merupakan salah satu dari bab yang terdapat pada pelajaran Matematika. Adapun hal-hal yang akan dibahas kali ini yaitu ; Rumus-rumus, Aturan Perkalian, Permutasi, Kombinasi, Peluang suatu kejadian, Frekuensi Harapan, Peluang Kejadian majemuk dan Contoh Soal. let's check this out!


1. ATURAN PERKALIAN
Jika banyak cara memilih unsur pertama ada m cara dan banyak cara memilih unsur kedua ada n cara, maka banyak cara memilih kedua unsur tersebut sekaligus ada m x n cara.
Faktorial :
3! = 3.2.1
2! = 2.1
n! = n.(n-1).(n-2)...3.2.1

2. PERMUTASI
Permutasi menyatakan banyaknya penyusunan objek dengan memperhatikan letak/ukuran. Banyak permutasi (susunan terurut) r unsur dari n unsur adalah :


Jenis-jenis permutasi antara lain :

  • Permutasi n unsur : n!
    Permutasi dengan menggunakan seluruh unsur.
  • Permutasi dengan n unsur sama:



    dengan p,q,r menyatakan banyaknya unsur yang sama.
  • Permutasi siklis (melingkar) : (n-1)!
    Permutasi yang disusun secara melingkar. misal jika ada susunan DEF maka susunannya DEF, FDE, EFD (jika pandangan kita berputar searah jarum jam) jadi permutasi siklis dari susunan 3 objek DEF adalah 3!/3 = (3 x 2!)3 = 2! = 2.
3. KOMBINASI
kombinasi menyatakan banyaknya penyusunan objek-objek dengan tidak memperhatikan letak/ukuran. Rumus banyak kombinasi (susunan) unsur dari unsur adalah :



Contoh Soal!

1. Empat siswa dan dua siswi akan duduk berdampingan. Apabila siswi selalu duduk paling pinggir, banyak cara mereka duduk adalah..
A. 25
B. 64
C. 48
D. 71
E. 69

Pembahasan
Duduk di pinggir 2 siswi: 2!
Duduk selain di pinggir 4 siswa: 4!
Jadi banyak cara mereka duduk adalah :
2!4! = (2.1)(4.3.2.1) = 48

Jawaban C

4. PELUANG SUATU KEJADIAN
Peluang suatu kejadian adalah kemungkinan munculnya suatu kejadian dari sebuah semesta himpunan dengan ketentuan ketentuan 0 =< P(A) =< 1. Dirumuskan :


dengan ketentuan :
n(A) = Banyaknya kemungkinan terjadinya kejadian A
n(S) = Banyaknya seluruh kejadian yang mungkin

5. FREKUENSI HARAPAN
Jika A adalah kejadian pada ruang sampel s dengan peluang P(A), maka frekuensi harapan kejadian A danri n kali percobaan adalah f(A) = P(A).n

6. PELUANG KEJADIAN MAJEMUK

  • Peluang gabungan 2 kejadian
    Jika A dan B dua kejadian yang berada dalam ruang sampel S. Peluang kejadian 
  •  rumusnya adalah :



  • Kejadian saling lepas
    Syarat kejadian ini adalah bila tidak ada irisan antara 2 himpunan, sehingga 
  •  jadi rumusnya :

  • Kejadian saling bebas
    Syarat kejadian ini adalah bila suatu kejadian tidak mempengaruhi kejadian yang lain.


  • Kejadian bersyarat
    Kejadian yang menyatakan peluang munculnya kejadian A setelah muncul kejadian B.


  • Peluang komplemen suatu kejadian
    Jika A dan A' adalah 2 buah kejadian yang saling komplemen, maka peluang komplemen kejadian A (ditulis P(A')) rumusnya adalah

    P(A') = 1 - P(A)
Contoh Soal!

1. Dua dadu dilempar undi bersama satu kali. Peluang muncul jumlah kedua mata dadu 4 atau 7 adalah...
A. 6/36
B. 9/36
C. 8/38
D. 5/35
E. 7/35

Pembahasan
n(S) = 6^2 = 36
A = Kejadian muncul mata dadu 4
<=> {(1,3),(2,2),(3,1)}= n(A) = 3
B = Kejadian muncul mata dadu 7
<=> {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}= n(B) = 6

Kejadian di atas adalah kejadian saling lepas karena 2 kejadian tidak memiliki irisan.
Jadi :
 = 3/36 + 6/36 = 9/36
Jawaban B


Sekian bahasan mengenai Permutasi dan Kombinasi kali ini, jika ada pertanyaan silahkan klik Contact atau hubungi melalui FansPage pandaibelajar Thank You!

MATEMATIKA : BARISAN DAN DERET ( Konsep, Rumus, Contoh Soal, Barisan dan Deret Aritmatika, Barisan dan Deret Geometri, Geometri Tak Hingga)

Hai Sahabat Pandai Belajar! Kali ini admin akan membahas salah satu bab yang ada pada dipelajaran Matematika yaitu Barisan dan Deret. Adapun hal-hal yang akan dibahas diantaranya adalah Konsep Barisan dan Deret, Barisan dan Deret Aritmatika, Barisan Geometri, Deret Geometri, Deret Geometri tak hingga dan rumus-rumus dan Contoh Soal dalam Barisan dan Deret. Kuy kita simak bersama!


1. KONSEP BARISAN DAN DERET

  • Barisan
    Barisan adalah himpunan bilangan-bilangan yang diurutkan menurut aturan tertentu. barisan suku ke-1 sampai suku ke -n dapat dituliskan dengan :


  • Deret
    Deret adalah penjumlahan dari suatu barisan yang berurutan dapat dituliskan dengan  :


2. BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

  • Barisan Aritmatika
    Barisan Aritmatika adalah suatu barisan bilangan yang selisih/beda antara dua suku yang berurutan selalu sama. Rumus suku ke -n dari barisan aritmatika dapat dituliskan sebagai berikut :


Dengan Un = suku ke -n
              a = Suku pertama
              b = beda

  • Deret Aritmatika
    Jumlah n suku pertama dari deret aritmatika dirumuskan :


Dengan  Sn = Jumlah n suku pertama
              Un = suku ke -n
              a = Suku pertama
              b = beda

Hubungan antara barisan dan deret, dapat dirumuskan dengan :



Contoh Soal!

1. Jika suku ke-8 deret aritmatika adalah 20 dan jumlah suku ke-2 dan ke-16 adalah 30, maka suku ke-12 deret tersebut adalah..

A. -6
B. -2
C. 9
D. 0
E. -5

Pembahasan : 
Un = a + (n-1)b
U8 = a + 7b = 20
U2 + U16 = (a + b) + (a + 15b)
                 = 2a + 16b = 30 atau a + 8b = 15
Dengan eliminasi :
a + 7b = 20
a + 8b = 15
____________
b = -5, a = 55
U12 = a + 11b = 55+11(-5) = 0 Jawaban D


3.  BARISAN GEOMETRI
Barisan Geometri adalah barisan bilangan yang perbandingan/rasio dua suku yang berurutan selalu sama. Rumus suku ke -n dari barisan geometri dapat dituliskan sebagai berikut :



Dengan Un = Suku ke -n
              a = Suku pertama
              r = Rasio

4. DERET GEOMETRI
Jumlah n suku pertama dari deret geometri dirumuskan :



Dengan Sn= Jumlah n suku pertama
              a = Suku pertama
              r = rasio

5. DERET GEOMETRI TAK HINGGA
Barisan geometri tak hingga akan mempunyai nilai yang konvergen (nilainya memusat) jika -1 < r < 1 dengan rumus :



Contoh Soal! 

1. Jika suku pertama dan ke-4 barisan geometri adalah 3 dan 24 dan maka suku ke-7 barisan geometri tersebut adalah..

A. 48
B. 192
C. 834
D. 321
E. 96

Pembahasan : 
Un = ar^n-1
U1 = a
Suku ke-4 =
U4 = ar^3
24 = 3r^3
r^3 = 8
r = 2, jadi suku ke-7 :
U7 = ar^6 = 3(2)^6 = 192 Jawaban B


Sekian Ulasan singkat mengenai Barisan dan Deret, jika ada pertanyaan silahkan klik Contact!! Terima kasih :)